Uno de los grandes éxitos de la teoría de la mecánica cuántica fue poder modelar de forma correcta el átomo de hidógeno, resolviendo múltiples problemas de los modelos previos. No voy a describir acá el detalle de dicho modelo ni hacer una introducción a la mecánica cuántica. Simplemente, voy a enumerar conceptos, ecuaciones y métodos que nos permiten visualizar cómo se distribuyen los electrones dentro de un átomo según el modelo de Schrödinger.
Repositorio de archivos programados en python:
Modelo atómico
El modelo atómico de Schrödinger parte de resolver la ecuación de Schrödinger en 3D para un potencial central para un electrón:
La ecuación de Schrödinger en 3D es:
\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left ( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r) \right) \psi\]Al proponer una solución en esféricas separable $\psi(r,\theta,\phi) = R(r) \cdot Y(\theta)$ , y depejar $Y$ obtenemos los armónicos esféricos. De esta forma se puede separar la ecuación diferencial en dos partes, una que depende de $r$ y otra de los ángulos. Ambas partes son equivalentes a una constante que depende de números cuánticos $n$ y $l$.
Por su lado, los Armónicos esféricos requieren un número cuántico más para describir su solución: $m$:
\[Y^m_l(\phi,\theta) = \epsilon \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} e^{i m \phi} P^m_l(\cos(\theta))\]donde $\epsilon = (-1)^m$ para $m>=0$ y $1$ para $m$ negativos, lo que se conoce como la fase de Condon-Shortley. $P^m_l(x)$ son los Polinomios Asociados de Legendre.
Esto modela la dependencia angular (en coordenadas esféricas) de la función de onda.
Luego, se propone un $V(r)$ culombiano:
\[V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \, \frac{1}{r}\]La solución de la parte radial para este potencial da:
\[\tilde{R}_{n,l} = \left( \frac{2 r}{n\,a} \right)^l e^{-\frac{r}{n\,a}} L_{n-l-1}^{2l+1} \left( \frac{2r}{n\,a} \right)\]con $a$ el radio de Bohr y $L_{n-l-1}^{2l+1}$ son los Polinomios Asociados de Laguerre:
\[a = \frac{ 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m \, e^2} = 0.529 \,\, \unicode{xC5}\]Finalmente, hay que agregar un factor de normalización:
\[N_{n,l} = \sqrt{ \left( \frac{2}{n\,a} \right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} }\]De modo que las soluciones $R_{n l}$ sean ortonormales:
\[R_{n,l} = N_{n,l} \cdot \tilde{R}_{n,l}\]De forma tal de tener la solución:
\[\psi_{n,l,m}= R_{n,l} \,\cdot\, Y^m_l(\phi,\theta)\]donde $n,l,m$ son los números cuánticos que caracterizan al estado. $n$ es el nivel, $l$ es el orbital y $m$ es la orientación del orbital.
- $l$ está asociado a el momento angular total del electrón en el átomo
- $m$ es la proyección sobre $\hat z$ del momento angular
- $n$ es el nivel. Al orden más bajo la energía del electrón en el estado $\psi_{n,l,m}$ sólo depende de $n$: $E_n$.
- Al incorporar términos al hamiltoniano la energía empieza a depender de otros números cuánticos
Con la norma definida así, vale la siguiente relación de ortonormalidad:
\[\int \psi_{n,l,m}^* \psi_{n^\prime,l^\prime,m^\prime} \;\; r^2 sin(\theta) \, d\theta d\phi dr = \delta_{l \, l^\prime} \, \delta_{m \, m^\prime}\, \delta_{n \, n^\prime}\]Que viene de la condición de ortonormalidad de $R_{n,l}$ (para un mismo $l$) :
\[\int_0^\infty R_{n,l}(r)^* R_{n^\prime,l}(r) \, r^2 \, dr = \delta_{n \, n^\prime}\]Condición de normalización de los armónicos esféricos:
\[\int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} Y_l^m(\theta,\phi)^* \,\cdot\, Y_{l^\prime}^{m^\prime}(\theta,\phi) \;\;\; sin(\theta) \, d\theta \, d\phi = \delta_{l \, l^\prime} \, \delta_{m \, m^\prime}\]Graficar orbitales atómicos (con fase en color)
En el archivo orbitales_atomicos.py está programado el cálculo de estas funciones $\psi_{n,m,l}$ para cada estado (n,l,m).
Luego, en 01_graficar_3d.py se muestra cómo graficar.
A continuación el ejemplo para el estado: $\psi_{5,2,1} + i \cdot \psi_{5,2,-1}$
Veriosn Ploy.ly 3D
Comparar orbitales atómicos (diferenciados por color)
En el archivo 02_comparar_estados.py se grafican 3 estados en simultaneo con diferentes colores:
Gráficos de los estados $(\psi_{2,1,-1} + i \cdot \psi_{2,1,1})/\sqrt{2}$ (celeste), $-i \cdot (\psi_{3,2,-1} - \psi_{3,2,-1})/\sqrt{2}$ (naranja), $\psi_{1,0,0}$ (verde) :
Veriosn Ploy.ly 3D de varios estados
Estructura fina e hiperfina
La estructura fina e hiperfina de la configuración electrónica depende de el acoplamiento del Spin electrónico con el momento angular orbital ($L \cdot S$) y de todo esto con el spin nuclear ($I$). Para describir (y graficar) estos estados se debe extender el espacio de Hilbert contemplando las posibles proyecciones del Spin electrónico y Nuclear.
En el repositorio de github se incluyen ejemplos para la creación de autoestados del hamiltoniano con acoplamiento $L\cdot S $ (estructura fina, archivo 03_estructura_fina.py) y para el hamiltoniano con acoplamiento $J \cdot I$ (estructura hiperfina, archivo 04_estructura_HiperFina.py).
Por ejemplo, a continuación se puede ver una representación gráfica del estado ${}^{87}Rb\,5P_{3/2} \; F=1,mf=1$ :
En el archivo 04_estructura_HiperFina.py también hay un ejemplo sobre cómo generar animaciones, útiles para ver transiciones entre estados. Esta es una simulación (muy rudimentaria) de una transición por oscilaciones de Rabi entre el estado
${}^{87}Rb\,5S_{1/2}\;F=1,mf=0$ y el estado ${}^{87}Rb\,5S_{3/2}\;F=1,mf=1$
Galería de estados
Con el script 05_galeria_de_estados_3d.py se generó una galería de estados orbitales hasta el nivel 3: